Fibonacci

Leonardo Pisano is zijn naam, maar hij staat beter bekend als Fibonacci. De zoon van koopman Guilielmo wordt geboren rond 1170 in Pisa, en overlijdt daar zo'n 80 jaar later. Zelf noemt hij zich ”Bigollo”: nergens goed voor. Of bedoelt Fibonacci reiziger, de betekenis van Bigollo in het Toscaanse dialect?

Want een reiziger is hij wel. Vader Guilielmo vertegenwoordigt kooplieden van de Republiek Pisa in de Noord-Afrikaanse havenstad Bugia, nu Bejaïa in Algarije. Hij zorgt ervoor dat zijn zoon onderwijs krijgt van Arabische wiskundigen. Later bezoekt Fibonacci Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en Zuid-Frankrijk, en maakt zo kennis met een verscheidenheid aan getallenstelsels en wiskundige methoden. „Toen ik kennismaakte met de Indische negen symbolen, had ik al snel veel plezier in deze wetenschap”, schrijft hij zelf over zijn eerste kennismaking met de Arabische cijfers.

Rond 1200 keert hij terug naar Pisa en slaat aan het schrijven. Een aantal van zijn boeken is bewaard gebleven. ”Liber abaci”, ”Practica geometriae”, ”Flos” en ”Liber quadratorum” hebben belangrijk bijgedragen aan de overlevering van de oude wiskunde.

Tientallig stelsel
Als ”Liber abaci” in 1202 verschijnt, is het gebruik van Arabische cijfers en het daaraan verbonden tientallig stelsel alleen bekend bij een paar Europese geleerden vanuit 9e-eeuwse geschriften van Arabische wiskundigen. In dat tientallig stelsel bepaalt de plaats van een cijfer de waarde. Zo heeft het cijfer 1 in het getal 10 een andere waarde dan de 1 in 100. De 'nietsnut' laat het gebruik van dit getallenstelsel in berekeningen zien.

Koopmannen vormen echter de inspiratie voor het grootste gedeelte van Fibonacci's eerste werk. Alledaagse problemen zoals het berekenen van prijzen, opbrengsten, rente en het rekenen met de vele munteenheden die de landen rond de Middellandse Zee hanteerden, lost hij op met behulp van het tientallig stelsel.

De wiskundige is echter vooral bekend geworden met zijn 'konijnenprobleem': hoe snel breidt een kolonie konijnen zich uit onder ideale omstandigheden? Fibonacci gaat uit van twee konijnen, een mannetje en een vrouwtje. Het vrouwtje is na 2 maanden vruchtbaar, en baart daarna elke maand twee jongen, een mannetje en een vrouwtje. Die brengen op hun beurt ook weer na 2 maanden elke maand een stel jongen voort. Hoeveel paar konijnen is er na verloop van tijd, ervan uitgaande dat ze niet doodgaan?

Als je voor elke maand de uitkomst op een rijtje zet, ontstaat de ”Fibonacci-reeks”: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 enzovoort. Bij nadere bestudering van deze serie getallen valt op dat elk getal gelijk is aan de optelsom van de vorige twee getallen.

Bijenkolonie
Het konijnenprobleem staat wat ver af van de werkelijkheid, maar het bijzondere is dat de Fibonacci-reeks vaak wordt aangetroffen in de natuur. In de opbouw van een bijenkolonie zien we de ordening terug. Ook het gemiddeld aantal kroonblaadjes aan veel bloemen zou de Fibonacci-reeks vertonen.

Verder is met enige moeite in de rangschikking van zaden op bloemhoofden en de schubben van een dennenappel een Fibonacci-ordening te bespeuren. Als we bloemhoofden van boven bekijken of een dennenappel precies van onderen, valt op dat de zaden en schubben in een spiraalvorm zijn gerangschikt. Het aantal spiralen met de klok mee en het aantal spiralen in de andere richting blijken getallen te zijn die naast elkaar liggen in de Fibonacci-reeks. Een ander soort regelmatigheid, eveneens gebaseerd op de Fibonacci-reeks, valt te ontdekken in de bouw van een Nautilus-schelp.

Leuke weetjes over het voorkomen van de Fibonacci-reeks in de natuur zijn te vinden op de Internet-site van de Universiteit van Surrey: http://www.ee.surrey.ac.uk/ Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html